RUDANET.INFO :: ALGEBRA

RtMvS · Wysłany: Pon Kwi 14, 2008 9:10 pm

W tym temacie proszę pisać zadania związane z działem ALGEBRA.

W tym:
- przekształcenia funkcji i wykresów,
- macierze,
- przestrzenie,
- wielomiany,
- modulo,
- wzory i formuły matematyczne,
- układy równań i nierówności,
- geometria analityczna (układy współrzędnych + wektory i działania na wektorach)
- proporcje (ogólnie),
- itp, itd.

ANEM · Wysłany: Sro Kwi 16, 2008 8:15 pm

Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt P

$2x+3y+7=0$

$P=(2,4)$

xyzzy · Wysłany: Sro Kwi 16, 2008 8:49 pm

ANEM napisał/a

Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt P
$2x+3y+7=0$
$P=(2,4)$

$2x+3y+7=0$
$3y=-2x-7$
$y=-\frac {2}{3} x - \frac {7}{3}$

Współczynnik a decyduje o tym, czy funkcja jest prostopadła (dla funkcji o równaniu y=ax+b). Na pewno pamiętasz, że:
$y=a_1 x + b_1 \ \perp \ y = a_2 + b_2 \ \Leftrightarrow \ a_1 = - \frac {1}{a_2} \ \ \ \{ Z: a_2 \neq 0 }$

Czyli wsp. a funkcji prostopadłej wynosi:
$a=- \frac {1}{- \frac {2}{3} }=\frac {3}{2}$

To teraz brakuje nam już tylko b:
$y=\frac {3}{2} x +b$

Podstawiamy punkt $\ P=(2,4) \$ do równania:
$4=\frac {3}{2} \cdot 2 + b$
$4=3+b$
$b=1$

Czyli ostatecznie:
$\underline {y=\frac {3}{2} x + 1}$

ANEM · Wysłany: Sro Kwi 16, 2008 9:09 pm

teraz pozostaje pytanie jak to zrobić gry ma być zamiast prostopadłej równoległa????:>

RtMvS · Wysłany: Sro Kwi 16, 2008 9:24 pm

Cytat

teraz pozostaje pytanie jak to zrobić gry ma być zamiast prostopadłej równoległa????:>

Dwie proste sa równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe (przy x) sa równe

Więc a1 = a2, potem wstawiasz wpółrzedne punktu i masz "b"

ANEM · Wysłany: Czw Kwi 17, 2008 3:24 pm

to teraz takie równanko

:)

$\sqrt{x^{2}-2x+1}+2x-5=0$

dla jakich wartości parametru m równanie $|x-2|=2m+1$ ma

jedno rozwiązanie

dwa rozwiązania

RtMvS · Wysłany: Czw Kwi 17, 2008 4:25 pm

ANEM napisał/a

$\sqrt{x^{2}-2x+1}+2x-5=0$

DZIEDZINA:
$x^2-2x+1\geq 0 \\ (x-1)^2 \geq 0$ Zawsze spełnione, bo to $y=x^2$ przesunięte o 1 jednostkę w prawo.
$\sqrt{x^{2}-2x+1}+2x-5=0 \\ \sqrt{x^{2}-2x+1}=5-2x \\ sqrt{x^{2}-2x+1}=5-2x \qquad /(\quad)^2 \\ x^2-2x+1 = 25 -20x + 4x^2 \\ 3x^2-18x+24 = 0 \\ x^2 - 6x + 8 = 0$ Teraz delta, x1 , x2 albo wzory Viete'a.
Po skorzystaniu ze wzorów Viete'a:
$(x-4)(x-2)=0 \\ x=4 \quad \vee \quad x=2$

RtMvS · Wysłany: Czw Kwi 17, 2008 4:39 pm

ANEM napisał/a

dla jakich wartości parametru m równanie $|x-2|=2m+1$ ma

jedno rozwiązanie

dwa rozwiązania

Mamy funkcję $|x|$ . przesuniętą o dwie jednostki w prawo. Ona ma dwa rozwiązania, kiedy jest większa od zera, a jedno, kiedy jest równa zero.

A więc 2 rozwiązania:
$2m+1 > 0 \\ m > -\frac{1}{2}$ .
Oraz 1 rozwiązanie:
$2m+1=0 \\ m = -\frac{1}{2}$

ANEM · Wysłany: Czw Kwi 17, 2008 7:03 pm

wyznacz te wartości parametru m,dla których równanie ma jedno rozwiązanie

$(m-2)x^{2}+(m-2)x+1=0$

nie wykonując dzielenia wyznacz resztę wielomianu W(x)przez wielomian P(x)

$W(x)=x^{5}+2x^{4}+3x+1$

$P(x)= (x+2)(x-1)$

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x-1 jest równa 1 zaś po podzieleniu go przez x-2 reszta równa się 4. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianiu przez wielomian

$x^{2}-3x+2=0$

rozłoż na czynniki wielomian $W(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4$

xyzzy · Wysłany: Pią Kwi 18, 2008 3:17 pm

ANEM napisał/a

rozłoż na czynniki wielomian $W(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4$

Najprościej zrobić to z dzielenia wielomianów. W oczy się rzuca, że miejscem zerowym jest x=1.

$(x^3 + 3x^2 - 7x + 4) \ : \ (x-1) = x^2 + 3x - 4$
$\underline{-x^3 + x^2}$
$\qquad 3x^2 - 7x +4$
$\qquad \ \ \underline{-3x^2 + 3x}$
$\qquad \qquad \qquad -4x + 4$
$\qquad \qquad \quad \underline{+4x - 4}$
$\qquad \qquad \qquad \qquad = \ =$

Łatwo zauważyć, że wielomian wynikowy też ma w x=1 miejsce zerowe, więc możemy zastosować wzór Viete'a*:
$\frac {c}{a}=x_1 \cdot x_2$
a jest równe 1, zatem mamy:
$x_2=\frac {c}{x_1}=\frac {-4}{1}=-4$

Ostatecznie:
$\underline{W(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4=(x-1)(x-1)(x+4)=(x-1)^2(x+4)}$

*Funkcję kwadratową można było rozwiązać za pomocą delty, lub znowu dzielić przez (x-1)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

ANEM napisał/a

nie wykonując dzielenia wyznacz resztę wielomianu W(x)przez wielomian P(x)
$W(x)=x^{5}+2x^{4}+3x+1$
$P(x)= (x+2)(x-1)$

Nie jestem co do tego pewien, ale ok.
$P(x)= (x+2)(x-1)=x^2+x-2$
$W(x)=x^{5}+2x^{4}+3x+1=\underbrace {x^5 + x^4 - 2x^3}_{X^3 \cdot P(x)} + 2x^3 + x^4 + 3x + 1=$
$=x^3 (P(x)) + \underbrace {x^4 + x^3 - 2x^2}_{X^2 \cdot P(x)} + 2x^2 + x^3 + 3x + 1=$
$=x^3 (P(x)) + x^2 (P(x)) + \underbrace {x^3 + x^2 - 2x}_{X \cdot P(x)} + 2x + x^2 + 3x + 1 =$
$=x^3 (P(x)) + x^2 (P(x)) + x (P(x)) + \underbrace {x^2 + x - 2}_{P(x)} + 2 + 4x + 1=$
$=x^3 (P(x)) + x^2 (P(x)) + x (P(x)) + P(x) + 4x + 3 =$
$=P(x)(x^3 + x^2 + x + 1) + 4x + 3$

Resztą z $\frac {W(x)}{P(x)}$ jest $R=4x + 3$

ANEM · Wysłany: Pon Kwi 21, 2008 10:29 pm

określ liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru a . Dla tych parametru a dla których istnieją rozwiązania podaj te rozwiązania.

$2x-a^{2}=a+ax-6$

RtMvS · Wysłany: Pon Kwi 21, 2008 10:57 pm

Cytat

określ liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru a . Dla tych parametru a dla których istnieją rozwiązania podaj te rozwiązania.

$2x-a^2=a+ax-6$

Nie mam zbytnio czasu, aby to wszystko liczyć, ale podam wskazówki:
1. Przerzuć wszystko na jedną stronę i stwórz równanie o zmiennej x (tam trzeba będzie te x przed nawias wyciągnąc). Wyjdzie Ci współczynniki kierunkowy zależny od a oraz wyraz wolny, też zalezny od a. Stworzy się funkcja liniowa.
2. Najpierw załóż, ze współczynnik kierunkowy (to przy "x") jest RÓŻNE od 0. Wtedy masz jawną funkcje liniową (cośtam)x+(cośtam)=0. Ona ma ZAWSZE jedno rozwiązanie (wtedy przerzucasz wszystko, co niezwiązane z "x" na drugą stronę i przekształcasz to tak, aby wyszło: x = coś tam, gdzie "a" traktujesz jako liczbę.
3. Pozostaje jeszcze sprawdzić, co jest, jak wspólczynnik kierunkowy jest równy zero. Wtedy równanie albo jest sprzeczne (nie ma rozwiązań), np gdy wyjdzie 1=0. Albo to równanie ma NIESKOŃCZENIE wiele rozwiązań, kiedy wyjdzie tożsamość, np 0 = 0, 2 = 2, -5 = -5 itd. Musisz wyznaczać takie parametry, aby wychodziły takie zalezności.

ANEM · Wysłany: Czw Kwi 24, 2008 1:00 pm

wyznacz te wartości parametru m, dla których rozwiązaniem układu równań

$\left\{\begin{array}{l} 2x+y=m\\x+3y=2\end{array}$

jest para liczb

dodatnich

różnych znaków

kocioas71 · Gość

Mam problem z tymi zadaniami
1. Mapa pewnego terenu jest prostokątem o wymiarach 56cmx x 80cm. Jej skala wynosi 1:150000. Mapę tę zmniejszono za pomocą kserografu do wymiarów 21cm x 30cm Jaką skale należy wpisać na otrzymanej mapie?

2.Inflacja w Polsce w 200 roku wyniosła 9%. Pan Kowalski w styczniu 2000 roku zarabiał 1500zł a w styczniu 2001 - 1600zł . Czy realna wartość jego pensji wzrosła czy zmalała ?

3.Mikołaj wyjeżdżający do Anglii, miał mapę Londynu w skali 1:50000. Na miejscu kupił sobię inną mapę, na której 1 calowi odpowiadała 1 mila. Która z tych map była dokładniejsza ? Przyjmij że 1 cal=2,54cm, 1 mila=1,6km

Z góry dziękuje i proszę o szybką odpowiedz Pozdrawiam

Do tego jest specjalny dzial, przenosze.

skater1000 · Wysłany: Pon Kwi 28, 2008 6:40 pm

Błagam pomóżcie mi w rozwiazaniu tych zadań. Jestem słaby z matematyki i moich rodziców nie stać na korepetycje jeżeli nie rozwiąże tych zadań nie zdam do następnej klasy:(

KWIECIEŃ 2008
KLASA I
1. Zbadaj monotoniczność funkcji y=2|x|+x w zbiorze
liczb rzeczywistych.
2. Wykaż, że pod dużym pierwiastkiem{ 5+ 2( pod pierwiastkiem 3)} + {pod dużym pierwiastkiem 9 -6(pod pierwiastkiem 2)} = 2 i pod {dużym pierwiastkiem 2 + pod pierwiastkiem 3} .
3. Kółko filatelistyczne liczy więcej niż trzech członków,
ale mniej niż dziewięciu. Ilości znaczków w ich
klaserach są kolejnymi liczbami naturalnymi. Wszyscy
razem mają 4455 znaczków. Ile znaczków może mieć
każdy z członków tego kółka?