RUDANET.INFO :: ANALIZA MATEMATYCZNA

RtMvS · Wysłany: Pon Kwi 14, 2008 9:15 pm

W tym temacie proszę zamieszczać zadania związane bezpośrednio z ANALIZĄ MATEMATYCZNĄ, czyli:

- Liczby rzeczywiste,
- Liczby zespolone,
- logarytmy,
- wszelkiego rodzaju funkcje (logarytmiczne, wykładnicze, ogólnie elementarne),
- badanie przebiegu funkcji (motonicznośc, miejsca zerowe, wklęsłość/wypukłość itd),
- pochodne (rachunek różniczkowy),
- całki (rachunek całkowy),
- funkcje trygonometryczne,
- funkcje cyklometryczne,
- ciągi
- granice ciągów i funkcji,
- zadania optymalizacyjne,
- itp, itd.

RtMvS · Wysłany: Pon Kwi 14, 2008 11:43 pm

3) Oblicz wartości trygonometryczne kąta nachylenia wykresu funkcji y=-3x do osi x

ROZWIĄZANIE

sloneczko_825 napisał/a

Oblicz wartości tryfonometryczne kąta nachylenia wykresu funkcji y=-3x do osi x

Najpierw twierdzenie, które powinnaś znać:

Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi OX układu współrzędnych.

Mamy, że y = -3x

Musimy obliczyć sina, cosa, tga i ctga. Te "a" to kąt alfa, nie wiem po prostu jak zapisać na forum ten znaczek

tg a obliczymy, bo wiemy z twierdzenia, że jest on równy -3

tga = -3

ctga = 1/tga, czyli ctga = 1/-3, czyli ctga = -1/3

Cały czas musimy korzystać ze związków pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi.

Kolejny związek jest taki, że tga = sina / cosa.

Mamy więc równanie sina / cosa = -3 => sina = -3cosa. Jest to równanie z dwiema niewiadomymi. Musimy więc znaleźć inne równanie. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: sin^2 a + cos^2 a = 1

Tworzymy układ równań:

sina = -3cosa
sin^2 a + cos^2 a = 1

I rozwiązujemy go:

sina = -3cosa
sin^2 a + cos^2 a = 1

(-3cos a)^2 + cos^2 a = 1
9cos^2 a + cos^2 a = 1
10cos^2 a = 1 /:10
cos^2 a = 1/10 /pierwiastkujemy, wyciągamy niewymierność.
cos a = pierw. z 10 / 10 lub cos a = - pierw. z 10 / 10
[Nie mamy założenia, jakie jest to "a", dlatego musimy zostawić obie te funkcje]

Więc skoro mamy 2 różne cosinusy, to będą również 2 różne sinusy.

sina = -3cosa

sina = -3 pierwiastki z 10 / 10 lub sina = 3pierwiastki z 10 / 10.

No i podajemy wynik:
sina = -3 pierwiastki z 10 / 10 lub sina = 3 pierwiastki z 10 / 10
cos a = pierw. z 10 / 10 lub cos a = - pierw. z 10 / 10
tga = -3
ctga = -1/3

===========================================================

sloneczko_825 napisał/a

Liczby 8, x, y, 125/8 tworzą ciąg geometryczny. Znajdź x i y.

Jeśli (8,x,y,125/8) - CIĄG GEOMETRYCZNY, to:

[Pokażę najłatwiejszy sposób]

x = 8 * q
y = x * q = 8 * q * q=8 * q^2
125/8 = y * q = 8 * q^2 * q = 8 * q^3

Gdzie "q" to oczywiście iloraz.

Z ostatniego równania z łatwością można obliczyć nasz iloraz, dzięki któremu obliczymy te x i y.

Mamy:

8 * q^3 = 125/8 /:8
q^3 = 125/64 /pierwiastek 3 stopnia
q = 5/4

x = 8 * q
x = 8 * 5/4 = 2 * 5 = 10
x = 10

y = x * q
y = 10 * 5/4 = 5 * 5/2 = 25/2
y = 25/2

x = 10
y = 25/2

[trudniejszy sposób]

Z definicji ilorazu ciągu geometrycznego.

Jeśli wiemy, że (8,x,y,125/8) to ciąg geometryczny, to:

x/8 = y/x
y/x = 125/8y

x^2 = 8y => y = x^2/8
8y^2 = 125x

8 * (x^2/8)^2 = 125x
8* x^4 / 64 = 125x
x^4 / 8 = 125x /:x /*8
x^3 = 125*8
x^3 = 1000
x = 10

y = x^2/8
y = 100/8 = 25/2
y = 25/2

x = 10
y = 25/2

Mamy to samo, ale jak widzisz, pierwszy sposób dużo łatwiejszy

============================================================

Lewa strona równania jest sumą wyrazów ciągu arytmetycznego. Rozwiąż to równanie:
a) 0,2+(0,2+x)+...+(0,2+19x)=-129
b) x+(x+3)+...+(x+57)=580
c) 13+11+9+...+x=-51
d) -24,3-23,7-23,1-...-x=-480

Rozwiązanie:

Musisz zastosować wzór na sumę ciągu arytmetycznego, czyli Sn = (a1 + an)/2 * n lub Sn = (2*a1+ (n-1)r)/2 * n
Wszystko wyznaczysz, podstawisz do równania i rozwiązujesz je.
Musisz tylko wyznaczyć a1, an, r i n
---
Dla przykładu:
a) 0,2 + (0,2+x) + ... + (0,2+19x) = -129
Liczysz sumę, gdzie a1 = 0,2, an = 0,2+19x, a n = 20
czyli S20 = (0,2+0,2+19x)/2 * 20 = (0,4 + 19x) * 10 = 4 + 190x
Podstawiasz do równania, zamiast lewej strony, wychodzi:
4 + 190x = -129
190x = -133
x = -133/190

[o ile się nie pomyliłem w obliczeniach

]

============================================================

ANEM · Wysłany: Sro Kwi 16, 2008 5:53 pm

ostanio nie mysle

1

określ znak liczby sin x, cos x, tg x, ctg x gdy x należy do (2,3)

2
sprowadzić do najprostszej postaci $cos^{2} x$ sin x + $sin^{3}x$

3
Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem $a_{n}=n^{2}$ . Wykaż, w zaleznosci od n różnicę

$a_{n+1} - a_{n}$

RtMvS · Wysłany: Sro Kwi 16, 2008 7:37 pm

Cytat

określ znak liczby sin x, cos x, tg x, ctg x gdy x należy do (2,3)

RYSUNEK (dla przypomnienia):

Generalnie 2 jest większe od $\frac{\pi}{2}$ , a 3 jest mniejsze od $\pi$ . Więc musimy zbadać znak tych 4 funkcji na przedziale $(\frac{\pi}{2}, \pi )$ , a więc II ćwiartki Układu współrzędnych.

$sin \beta = \frac{y}{r} \\ cos \beta = \frac{x}{r} \\ tg \beta = \frac{y}{x} \\ ctg \beta = \frac{x}{y}$ .

$sin \beta \quad > \quad 0$ , ponieważ y w drugiej ćwiartce jest dodatni (r zawsze dodatnie, bo to promień okręgu, na którym leży punkt)
$cos \beta \quad < \quad 0$ , ponieważ w II ćwiartce x jest ujemny.
$tg \beta \quad < \quad 0 \quad \wedge \quad ctg \beta \quad < \quad 0$ , ponieważ x i y w drugiej ćwiartce mają różne znaki.

- - - - - - - - - -

ANEM napisał/a

sprowadzić do najprostszej postaci $cos^2 x \cdot sin x +sin^3 x$

sin x prosi się o wyciagnięcie przed nawias.

$cos^2 x \cdot sin x + sin^3 x = sin x \cdot (cos^2 x + sin^2 x) \quad (jedynka \quad trygonometryczna) \quad = sinx \cdot 1 = \underline{sin x}$ .

- - - - - - - - - -

Cytat

Ciąg $(a_n)$ określony jest wzorem $a_n = n^2$ . Wykaż, w zaleznosci od n różnicę $a_{n+1} - a_n$ .

Nie wiem czy dobrze rozumiem całe zadanie, ale chyba nalezy po prostu podac tą różnice i pokazać, że zależna jest od "n".

Jeśli $a_n = n^2$ , to $a_{n+1} = (n+1)^2$ (za "n" podstawiamy "n+1"). Różnica:
$a_{n+1} - a_n = (n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = \underline{2n+1}$ .

A więc różnica jest zależna od "n" (nie byłaby zależna, jeżeli byłaby jakąś liczbą lub stałą).

ANEM · Wysłany: Sob Kwi 19, 2008 12:21 pm

sprowadź do najprostszej postaci

$\frac{a^{\pi}\cdot b^{\sqrt{3}}}{a^{-\pi}\cdot b^{\sqrt{3}}}$

gdzie b>0
a >0

Czy istnieje taki argument, dla którego funkcja $f(x)=7^{x}$ przyjmuje wartośc

2005

rozwiaż równanie

$log(x^{2}-4)=log3x$

xyzzy · Wysłany: Nie Kwi 20, 2008 3:24 pm

ANEM napisał/a

sprowadź do najprostszej postaci
$\frac{a^{\pi}\cdot b^{\sqrt{3}}}{a^{-\pi}\cdot b^{\sqrt{3}}}$
gdzie b>0
a >0

Nie jestem pewien, ale skoro a i b są różne od zera, to możesz spokojnie dzielić.
$\frac{a^{\pi}\cdot b^{\sqrt{3}}}{a^{-\pi}\cdot b^{\sqrt{3}}}=\frac{a^{\pi}}{a^{-\pi}}=a^{\pi - (- \pi )}=a^{2 \pi}$

----------------------------------

ANEM napisał/a

Czy istnieje taki argument, dla którego funkcja $f(x)=7^{x}$ przyjmuje wartość
2005

Jak wiadomo, mamy w matematyce coś takiego jak logarytmy:
$log_a c = b \ \Leftrightarrow a^b=c$
$Z: \ a \neq 1 , \ a, \ c > 0$

czyli piszemy:
$2005=7^x$
I z definicji logarytmu mamy:
(7 i 2005 spełnia założenia)
$log_7 2005=x$

Tak przy okazji, jeśli chcesz wiedzieć, to nie jest liczba całkowita

Jest bardzo fajna cecha podzielności przez 7.

Jeśli jest liczba w postaci abcd, abcde, abcdef (itd.) to jeśli od ostatnich 3 cyfr odejmiemy pozostałe (albo od pozostałych 3 ostatnie), a wynik jest podzielny przez 7, to ta liczba też jest podzielna przez siedem.

Np.:
$n=86415$
$415-86=329$
$329 \div 7 = 47$
Zatem 86415 jest podzielne przez 7.
I rzeczywiście, bo:
$86415 \div 7 = 12345$

-------------------

ANEM napisał/a

rozwiąż równanie
$log(x^{2}-4)=log3x$

Najpierw DZIEDZINA:
$x^2 -4 > 0 \qquad \wedge \qquad 3x >0 \\ (x-2)(x+2) >0 \qquad \wedge \qquad x>0 \\ x\in (-\infty ,-2)\cup (2, +\infty) \qquad \wedge \qquad x\in (0,+\infty) \\ D:x\in (2, +\infty)$ .
Skoro mamy dziedzinę, przystępujemy do zadania:

$log(x^{2}-4)=log3x$
Skoro masz po obu stronach logarytmy O TEJ SAMEJ PODSTAWIE, to możesz śmiało je opuścić i liczyć na samych liczbach logarytmowanych.
$x^{2}-4=3x$
$x^{2}-3x-4=0$
$\Delta=9+16=25$
$x_1=\frac {3 - 5}{2}=-1$
$x_2=\frac {3 + 5}{2}=4$
Teraz trzeba sprawdzić, czy wyniki są zgodne z założeniem (dziedziną)
Jak widać, x1 nie spełnia założenia, więc ostatecznie jest jeden wynik:
$\underline{x=4}$

ANEM · Wysłany: Sro Kwi 30, 2008 12:56 pm

wyznacz te watrości x, dla których poniższe liczby tworzą(w podanej kolejności) ciąg arytmetyczny.

cos x , sin x , tg x * sin x

rozwiąż równanie

$2^{x}+2^{x-1}+3*2^{x-2}=18$