RUDANET.INFO :: MATEMATYKA

kalinka · Gość

mam zadanie którego nie potrafię rozwiazać proszę o pomoc:*

zad. Na koncie oprocentowanym 9% w stosunku rocznym ulokowano 500zł, a na konto oprocentowane 12% w stosunku rocznym wpłacono 480zł. Na którym koncie znajdzie się więcej pieniędzy po pierwszym roku, a na którym po 2 latach? (zapisz obliczenia)

RtMvS · Wysłany: Czw Mar 27, 2008 8:56 pm

Ogólnie rzecz biorąc wszystko sprowadza się do wzoru:
$K_c = K\cdot (1+r)^n$ , gdzie:
Kc - kapitał całkowity (końcowy);
K - kapitał wpłacony (początkowy);
r - oprocentowanie (podajemy $r%$ albo $\frac{r}{100}$ );
n - ilość lat.

Sprawdźmy oba konta po jednym roku:
1)
$K_c = 500\cdot (1+\frac{9}{100})^1 = 500\cdot (\frac{100}{100} + \frac{9}{100})^1 = 500 \cdot \frac{109}{100} = 5 \cdot 109 = \underline{545 [zl]}$

2)
$K_c = 480\cdot (1+\frac{12}{100})^1 = 480 \cdot (\frac{112}{100})^1 = 4,8 \cdot 112 = \underline{537,60 [zl]}$ .

A więc na jeden rok bardziej korzystne jest ulokowanie 500 zł na lokacie 9%.

Teraz dwa lata:
1)
$K_c = 500\cdot (1+\frac{9}{100})^2 = 500\cdot (\frac{109}{100})^2 = 500\cdot \frac{11881}{10000} = \underline{594,05 [zl]}$

2)
$K_c = 480 \cdot (1+\frac{12}{100})^2 = 480 \cdot (\frac{112}{100})^2 = 480 \cdot \frac{12544}{10000} = \underline{602,11 [zl]}$

Więc na dwa lata korzystniejsze będzie 480 zł na lokacie 12%.

sloneczko_825 · Wysłany: Sob Mar 29, 2008 2:13 pm

1.Objętość bryły powstałej w wyniku obrotu półkola o kąt 120° wokół prostej zawierającej jego najdłuższą cięciwę o długości 6 jest równa?
2. Stożek przecięto płaszczyzną równoległą do podtsawy, otrzymując stożek o dwukrotnie mniejzym polu podtsawy. Stosunek objętości dużego stożka do objętości mełego stożka jest równy.
3. W stożek, którego przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym o boku długości 40, wpidujemy kulę, a w tę kulę wpisujemy kolejny stożek, którego przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym. Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka wpisanego w kulę.
4. Kula jest styczna do powierzchni bocznej stożka ściętego i obu jego podstaw. Oblicz pole powierzchni kuli, jeżeli promień mniejszej podstawy stożka ściętego ma długość r, a jego tworząca ma długość a.

xyzzy · Wysłany: Sob Mar 29, 2008 2:34 pm

1. Wystarczy odrobina wyobraźni do tego zadania.
Skoro to półkole i obraca się wokół najdłuższej cięciwy, to powstaje bryła, która jest wycinkiem kuli. (Dokładniej 1/3 kul, bo obrót był o 120 [st]).

Objętość kuli:
$V=\frac {4}{3} \cdot \pi r^{3}$

Zatem objętość tego wycinka:
$V=\frac {1}{3} \cdot \frac {4}{3} \cdot \pi r^{3}$ , gdzie r to połowa największej cięciwy, czyli 3

Z tego wychodzi:
$V=\frac {4}{9} \cdot \pi 3^{3}=12 \pi$

corny · Wysłany: Pon Mar 31, 2008 4:02 pm

ludzie ratujcie mi zycie

mam 2 zadania z rachunku prawdopodobienstwa

1.z urny zawierajacej 6 kulbialych i 4 czarne losusjemy 4 kule .ktore z lkosowan zapewni ci wieksze prawdopodbienstwo wylosowania 3 kul czarnych:

a) losujemy kolejno po jednej kuli zwracajac kazda przed losowaniem nastepnej

b) losujemy kolejno po jednej kuli,nie zwracajac zadnej do urny

musze to rozrysowac i rozpisac (jakies drzewa )

a 2 zadanie to

z pieciu pretow o dlugosciach1,2,3,4,5 jednostek dlugosci,wybieramylosowo trzy. oblicz prawdopodobienstwo zdarzenia A -z wybranych pretow ,mozna ulozyc trojkat prostokatny

bardzo prosze o pomoc

RtMvS · Wysłany: Pon Mar 31, 2008 5:30 pm

1a:

Zdarzenie A - wylosowano 3 kule czarne.

P(A) to po prostu suma iloczynów na wszystkich mozliwych gałęziach (zaznaczonych na czerwono).

A więc: $P(A) = \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{10} + \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} \cdot + \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} + \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} = 4 \cdot \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} \cdot = \frac{384}{10000} = \underline{0,0384}$ .

1b - analogicznie jak 1a:

$P(A) = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} \cdot \frac{6}{7} + \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} \cdot \frac{6}{8} \cdot \frac{2}{7} + \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} + \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = 4 \cdot \frac{4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 6}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7} = \frac{576}{5040} \approx \underline{0,1143}$

A więc bardziej prawdopodobne jest losowanie b.

Zad 2.

Też drzewko:

Zdarzenie A - z wylosowanych długości da się stworzyć trójkąt prostokątny.

Chodzi o to, że boki trójkata prostokątnego (a,b - przyprostokątne, c - przeciwprostokątna) muszą spełniać Twierdzenie Pitagorasa:
$a^2 + b^2 = c^2$ .

Jest tylko jedna taka możliwość, słynna trójka pitagorejska 3,4,5
$3^2 + 4^2 = 5^2 \\ 9 + 16 = 25 \\ 25 = 25$ .

A więc spośród wszystkich 5 długości tylko 3 spełniają taki warunek. Losujemy bez zwracania (inaczej nie miałoby to sensu). W każdym z 3 losowań powinniśmy wyciągnąc jeden z tych 3 boków.

A więc:
$P(A) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10} = \underline{0,1}$

sloneczko_825 · Wysłany: Wto Kwi 01, 2008 4:14 pm

1.stożek, którego przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym o boku długości 40, wpidujemy kulę, a w tę kulę wpisujemy kolejny stożek, którego przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym. Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka wpisanego w kulę.
2. Kula jest styczna do powierzchni bocznej stożka ściętego i obu jego podstaw. Oblicz pole powierzchni kuli, jeżeli promień mniejszej podstawy stożka ściętego ma długość r, a jego tworząca ma długość a.

xyzzy · Wysłany: Wto Kwi 01, 2008 8:31 pm

Rozwiązania do zadań

Poniżej sam tok rozwiązywania. Wykorzystano same podstawy geometrii na poziomie podstawowym, który już nie jednokrotnie był wykorzystywany wcześniej (materiał ponadpodstawowy będzie zaznaczony), więc zakładam, że przejścia będą zrozumiałe.

Zadanie 1

H - wysokość dużego stożka
r - promień kuli
a - promień podstawy małego stożka

Poniżej sam tok rozwiązywania. Wykorzystano same podstawy geometrii na poziomie podstawowym, który już nie jednokrotnie był wykorzystywany wcześniej (materiał ponadpodstawowy będzie zaznaczony), więc zakładam, że przejścia będą zrozumiałe.

$H=\frac {40 \sqrt{3}}{2}=20 \sqrt{3}$
$r=\frac {1}{3}H$ (ta wysokość H na rysunku jest prostopadła do podstawy [wiem, że rysunek krzywy, ale trudno... ])
$\frac {a}{r}=cos{30}$ (można było to pominąć, jeśli się zauważy, że gdyby odbić symetrycznie r względem a, to a jest wysokością trójkąta równobocznego)
$a=\frac {r \sqrt{3}}{2}=10$
l - tworząca mały stożek
$l=2a$

Zatem:
$P_c=\pi r\(a + l)=\pi \cdot 10 \cdot (10 + 20)=300 \pi$

Zadanie 2

$2a=2r+2x \ \ \ => \ \ \ a=r+x \ \ \ => \ \ \ a-r=x$
$(x-r)^2+(2R)^2=a^2$
$4R^2=a^2 - (x-r)^2$
$4R^2=a^2- (a-2r)^2$
$4R^2=a^2-(a^2-4ar+4r^2)$
$4R^2=4ra-4r^2$
$4R^2=4r(a-r)$

Pole powierzchni kuli:
$P_c=4 \pi R^2$

Zatem:
$P_c=4r(a-r) \pi$

edytkkkaAa · Wysłany: Wto Kwi 01, 2008 9:55 pm

RtMvS · Wysłany: Wto Kwi 01, 2008 10:31 pm

ZADANIA 1-6

ZADANIE 1

Jak widać na rysunku, pole zamalowanej figury to po prostu pole dużego koła minus pole małego koła.

Jeśli mamy jakikolwiek okrąg (jakiekolwiek koło) o promieniu r, to jego pole przejawia się wzorem $\pi r^2$ .

Duże koło ma promień 12, a więc jego pole to $\pi \cdot 12^2 = 144\pi$ .

Małe koło ma średnicę 10, a więc promień 5. Jego pole wynosi więc $\pi \cdot 5^2 = 25\pi$ .

A więc szukane pole to $144\pi - 25\pi = \underline{119\pi}$ .

- - - - -

ZADANIE 2

Jeśli bok kwadratu ma długość a (a = 8 cm), to okrąg WPISANY w ten kwadrat ma promień równy $\frac{1}{2}a$ . A z kolei okrąg OPISANY na tym kwadracie ma promień równy połowie przekątnej kwadratu, a więc $\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}$ .

Pole okręgu opisanego wynosi więc $\pi \cdot \frac{2a^2}{4}$ .
Pole okręgu wpisanego wynosi $\pi \cdot \frac{a^2}{4}$ .

Podstawiając podane wartości (a = 8 ) mamy, że Pole opisanego wynosi: $32\pi$ , a wpisanego: $16\pi$ . A więc Pole okręgu opisanego jest 2 RAZY większe od pola okręgu wpisanego w dany kwadrat.

- - - - -

ZADANIE 3

Jak widać na rysunku, Pole blatu to pole protokąta + 3/4 pola okręgu. 3/4, ponieważ ta 1/4 jest wliczona w pole prostokąta, a mamy tam kąty proste.

A więc Pole okręgu to $\pi \cdot 20^2 = 400\pi$ . Pole szukane, czyli 3/4 tego odcinka to $\frac{3}{4} \cdot 400\pi = 300\pi [cm^2]$ .

Pole prostokąta to z kolei: $50cm \cdot 150cm = 7500 [cm^2]$ .

A więc szukane pole to $7500 + 300\pi = \underline{300(25+\pi)[cm^2]}$ .

- - - - -

ZADANIE 4

Dla kąta środkowego wystarczy po prostu pomnożyć kąt pełny (360 stopni) razy ten łuk, czyli 5/9, a więc szukany kąt środkowy, to $360^{\circ} \cdot \frac{5}{9} = \frac{1800^{\circ}}{9} = \underline{200^{\circ}}$ .

Kąt wpisany oparty na tym samym łuku, co środkowy jest dokładnie połową miary tego środkowego (inaczej, kąt środkowy oparty na pewnym łuku jest dwa razy wiekszy od kata wpisanego opartego na tym samym łuku).

A więc kąt wpisany ma miarę $100^{\circ}$ .

- - - - -

ZADANIE 5

Jeżeli skonstruujemy sześciokąt foremny wpisany w okrąg o promieniu 6 cm, to ten sześciokąt ma boku również długości 6 cm. Sześciokąt foremny składa się z dokładnie 6 trójkątów równobocznych, również o boku 6 cm każdy. Więc szukane pole to po prostu $6 \cdot P_{trojkata}$ . Pole trójkąta równobocznego o boku a (a=6cm) przejawia się wzorem $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4$ . A więc Pole jednego trójkąta o boku 6 cm to $\frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} [cm^2]$ .

No więc pole sześciokąta to $6\cdot 9\sqrt{3} = \underline{54\sqrt{3}[cm^2]}$ .

- - - - -

ZADANIE 6

Jeżeli średnica koła ma 70cm, to jego promień ma 35cmp. Długość koła, a więc jego obwód to $2\pi r$ , a więc $70\pi \approx 70 \cdot 3,14 = 219,8 [cm]$ .

Do przejechania mamy 220 km = 220 000m = 220 000 00 cm. A więc ilość obrotów koła to po prostu iloraz odległości przez długośc koła:
$ilobr=\frac{22000000}{219,8} = 100090,992 \approx \underline{100091}$

A więc koło wykona około 100091 obrotów

xyzzy · Wysłany: Wto Kwi 01, 2008 10:41 pm

Rozwiązania do zadań

Zadanie 7
a) B ( $P=\pi \cdot 5^2$ )
b) $5 \sqrt {2}$ (przekątna kwadratu o boku 5)
c) 1cm na mapie = 50 cm w rzeczywistości
1000/50=20 cm na mapie
d) C - wycinka koła

Zadanie 8

$r^2=(2,5)^2+(4,5)^2=26,5 \ \ \ => \ \ \ r=\sqrt {\frac {53}{2}}$

Zadanie 9
Pole koła o promieniu 40 km:
$P=40^2 \pi = 1600 \pi \ [km^2]$
Połowa z tego:
$P_{latarni}=1600 \pi \div 2 = 800 \pi [km^2]$

Zadanie 10
Koło ma $360^{\circ}$ ,a rumb, to $\frac {1}{32}$ koła.
$\frac {360^{\circ}}{32}=11,25^{\circ}$
- Rumb ma 11,25°

$\frac {30^{\circ}}{11,25^{\circ}}=2 \frac {2}{3} \ [rumb]$
- Kąt 30° ma $2 \frac{2}{3}$ rumba

Zadanie 11
a)
$\alpha = \beta = 180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$
$\gamma = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ}(chyba, \ bo \ nie \ ma \ zaznaczone) - 70^{\circ}=110^{\circ}$

b)
$\varepsilon = 90 ^{\circ}$
$\delta = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ}=60^{\circ}$

Gosia · Gość

Czy ktoś mi pomoże?
Zad1
Dwóch studentów planuje podróż z Kowna do Krakowa autobusem lub samochodem. Koszt jednego biletu autobusowego na tej trasie wynosi 169 zł. Uczniom i studentom przysługuje 10% zniżki. Trasa, którą podróżowali by studenci ma długość 750 km, a ich samochód zużywa średnio 9 litrów benzyny na 100 km. Którym środkiem transportu podróż byłaby tańsza, jeżeli średnia cena za 1 litr benzyny wynosi 1 euro (1 euro=4zł)

Zad 2
W elektrowni wodnej woda spada na turbinę z wysokości 10 m, przy czym 100% energii wody zostaje przekazane turbinie. Oblicz moc, z jaką pracuje turbina w tej elektrowni, wiedząc, że 1000 ton wody spada na turbinę w czasie 1 sekundy. Wynik podaj w megawatach.

rybka · Gość

Do pakowania historycznej mapy Krakowa zaprojektowano tubę (w kształcie walca). Prostokąt, który jest powierzchnią boczną tuby ma wumiary 50cm x 28 cm (dłuższy bok to wysokość tuby ). Ile papieru potrzeba na oklejenie takiej tuby? (Nie bierz pod uwagę zakładek). Za pi przyjmij 22/7. Wynik zaokrąglij do drugiego miejsca po przecinku.

Proszę o pomoc w tym zadaniu :roll:

xyzzy · Wysłany: Sro Kwi 02, 2008 8:05 pm

Rozwiązania do zadań

Zadanie 1
Autobus:
cena biletu po zniżce:
169 - 16,9 = 152,1 zł
cena 2 biletów: 2*152,1=304,20 zł

Samochód:
9l/100km => 7,5*9l = 67,5l paliwa
cena paliwa:
67,4*4=270 zł

Zatem wychodzi na to, że podróż samochodem wyjdzie taniej.

Zadanie 2
To nie ten dział. To akurat jest zadanie z fizyki, więc nie jestem pewien, czy rozwiązanie jest dobre.
$P=\frac {E}{t}=\frac {mgh}{t}= \frac {1 \ 000 \ 000 \cdot 10 \cdot 10}{1}=100 \ 000 \ 000 [W] = \underline {100 \ MW}$

$\vartheta \ \vartheta \ \vartheta \ \vartheta \ \vartheta \ \vartheta \ \vartheta \ \vartheta \ \vartheta$

Rozwiązanie do zadania

Zadanie
Skoro powierzchnia boczna ma wymiary 50x28, to trzeba obliczyć zamknięcia na tuby:
$Obwod=2 \pi r$ z zadania wiemy, że:
$28=2 \pi r$
$r=\frac {28}{2 \pi} \ \ \ / \ \pi = \frac {22}{7}$
$r=\frac {28}{\frac {44}{7}}$
$r=\frac {49}{11}$
$P_{zamkniecia}=\pi r^2$
$P_{zamkniecia}=\frac {22}{7} \cdot (\frac {49}{11})^2$
$P_{zamkniecia}=\frac {686}{11}$
$P_c=P_{boczne}+2 \cdot P_{zamkniecia}$
$P_c=50 \cdot 28 + 2 \cdot \frac {686}{11}$
$P_c=1400+ \frac {1372}{11}$
$P_c=1400 + 124,(72)$
$P_c=1524,(72) \approx \underline {1524,73 \ [cm^2]}$

xOREN · Wysłany: Czw Kwi 03, 2008 5:43 pm

Witam!
Mam problem bo w ogóle nie mam pojęcia o kombinatoryce, a musze zrobic te zadania... sam cos kombinowalem ale caly czas wychodza mi zle wyniki. Proszę o pomoc w rozwiązaniu. Zależy mi przynajmniej na 3 zadaniach. z gory dzieki za pomoc

1. Rzucono dwukrotnie kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: A - w obu rzutach wypadła nieparzysta liczba oczek, B - w pierwszysm rzucie wypadło 5 lub 6 oczek.

2. Z grupy liczącej 7 kobiet i 3 mężczyzn należy wylosowac dwie osoby na spotkanie z ministrem. Oblicz prawdopodobienstwo zdarzenia: A - na spotkanie pójdzie kobieta i mężczyzna, B - w spotkaniu wezmą udział dwie kobiety, C - w spotkaniu weźmie udział mężczyzna.

3. W loterii jest 15 losów, w tym 5 wygrywających. Zakupiono 2 losy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A - oba losy są wygrywające, B - jeden los jest wygrywający, C - przynajmniej jeden los jest przegrywający.

4. W urnie jest 6 kul białch i 4 zielone. Losujemu dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń: A - wylosowano kule różnokolorowe, B - wylosowano dwie kule białe, C - wylosowano przynajmniej jedną kulę zieloną.

5. Ze zbioru [2,4,6,7,8,9] losujemy liczbę, zapisujemy ją, zwracamy do zbioru i ponownie losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A - obie wylosowane liczby są parzyste, B - pierwsza wylosowana liczba to 2 lub 9.

6. W sklepie podczas promocji między 9 kobiet i 6 mężczyzn rozlosowano piłkę i zegarek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A - piłkę otrzymała kobieta, B - piłkę i zegarek otrzymali mężczyźni, C - obie nagrody otrzymały kobiety.