Tu trza trochę porządków.
===========================================================
1) Trójkąt równoramienny o podstawie długośc 4 wpisany jest w okrąg o pomieniu długości 3. Oblicz pole tego trójkąta.
2) Znajdź proień okręgu opisanego na prostokącie o bokach długośc 5 i 12.
3) Jaką długość ma bok kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu długości 5.
Rozwiązania:
1)
RYSUNEK:
Kod
http://img57.imageshack.u...age=zad1pz7.jpg
Wprowadzamy dane:
a = 4
R = 3
Oraz wzór na pole trójkąta:
P = 1/2 * H * a
Musi być również założenie, że a,R,x > 0 (ponieważ długości odcinków nie mogą przyjmować wartości ujemnych)
Na rysunku mamy zaznaczone, że nasze H = R + x
Czyli nasz wzór na Pole przyjmuje postać: 1/2 * a * (R + x)
"a" i "R" mamy podane, więc do "pełni szczęścia" brakuje nam "x"
Te "x" wyliczymy z Twierdzenia Pitagorasa na tym małym trójkącie, gdzie zaznaczony jest kąt prosty.
Więc pojawia się wzór : (1/2 a)^2 + x^2 = R^2 [przypominam, że "^" w języku internetowym oznacza potęgę]
Teraz do tego powyższego twierdzenia wstawiamy to co mamy (czyli a i R) i liczymy:
(1/2 * 4)^2 + x^2 = 3^2
2^2 + x^2 = 3^2
4 + x^2 = 9
x^2 = 5
czyli x = pierwiastek z 5 LUB x = - pierwiastek z 5
do tego drugiego, ujemnego rozwiązania dajemy strzałkę i piszemy: "odrzucamy", ponieważ z naszych wcześniejszych założeń wynika, że długości odcinków przyjmują wartości DODATNIE.
czyli zostaje: x = pierwiastek z 5
Podstawiamy do H, gdzie H = R + x
czyli wychodzi, że H = 3 + pierw. z 5.
No to teraz podstawiamy do wzoru na Pole:
P = 1/2 * 4 * (3 + pierw. z 5) = 2 * (3 + pierw. z 5).
Można zostawić w takiej postaci, można wymnożyć: P = 6 + 2 pierw. z 5.
Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi 6 + 2 pierwiastki z 5. <= ewentualnie wpisujemy tą wcześniejszą wartość, z nawiasem.
----------
2)
RYSUNEK:
Kod
http://img234.imageshack....age=zad2zf7.jpg
Ponownie wprowadzamy oznaczenia:
a = 12
b = 5
d = 2R <= to wzięło się z twierdzenia, że punkt przecięcia się przekątnych prostokąta jest środkiem okręgu opisanego na tym prostokącie.
Oraz założenia: a,b,d,R>0 (wyjaśnienie takie jak w zad. 1)
d obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa korzystając z zaznaczonego niebieską linią trójkąta:
d^2 = a^2 + b^2
Podstawiamy:
d^2 = 5^2 + 12^2
d^2 = 25 + 144
d^2 = 169
d = pierwiastek z 13 LUB d = - pierwiastek z 13. Również musimy odrzucić drugie rozwiązanie (zapisać to że odrzucamy !), ponieważ nie zgadza sie z założeniem.
d = 2R => R = d/2
R = 13/2
R = 7,5
Odpowiedź: Promień okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 7,5
----------
3)
RYSUNEK:
Kod
http://img488.imageshack....age=zad3ex0.jpg
Ponownie oznaczenia: R = 5
D = 2R (z tego samego twierdzenia, co w zad.2)
oraz założenia: D,R,a>0
Wiemy, że czworokątem wpisanym w dany okrąg jest kwadrat. Istnieje wzór na przekątną kwadratu o boku równym "a", powinnaś go znać. Jest to wzór: D = a * pierwiastek z 2. Jeśli go nie znasz, można go wyprowadzić z Twierdzenia Pitagorasa korzystając z połowy kwadratu. Mamy wtedy trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnych równych "a" i przeciwprostokątnej równej "D". Stąd tworzymy wzór na podstawie Tw. Pitagorasa:
D^2 = a^2 + a^2
D^2 = 2*a^2
D^2 = a^2 * 2 <= teraz pierwiastkujemy
D = a * pierwiastek z 2.
Stąd mamy wzór, że przekątna D kwadratu o boku "a" jest równa: D = a*pierwiastek z 2.
Wiemy, że D = 2R, czyli D = 10
Podstawiamy do wyprowadzonego wzoru:
10 = a * pierwiastek z 2 /: pierwiastek z 2
10/pierwiastek z 2 = a /usuwamy niewymierność z mianownika
a = 10/pierwiastek z 2 * pierwiastek z 2/pierwiastek z 2
a = 10 pierwiastków z 2/2
a = 5 pierwiastów z 2
Odpowiedź: Bok kwadratu wpisanego w ten okrąg wynosi 5 pierwiastków z 2
==========================================================
ZADANIE 1)
| Master napisał/a |
| Jakie pole powierzchni ma stella octangula utworzona przez dwa czworościany foremne o krawędzi długości 8cm? |
Skorzystaj tylko z tego:
| Kod |
| http://pl.wikipedia.org/wiki/Stella_octangula |
Masz wzór na pole powierzchni całkowitej "S". Skorzystaj tylko z tego pierwszego, bez zaokrągleń, wartość ma być dokładna, z pierwiastkami. "a" oczywiście to długość jednej krawędzi tych czworościanów. Nie pytaj skąd się wziął ten wzór, bo nie wiem jak go wyjaśnić 
Ale w większości przypadków korzysta się z książek lub internetu 
----------
ZADANIE 2)
| Master napisał/a |
| Ile ścian ma bryła, która jest częścią wspólną dwóch czworościanów foremnych o krawędzi długości 10 cm tworzących bryłę stella octangula? Jakie pole powierzchni ma ta bryła? |
Bez wyobraźni przestrzennej możesz mieć problem. W każdym razie spróbuj wytężyć wzrok na ten rysunek. Częścią wspólną będzie to, co jest w środku bez tych piramidek. Albo inaczej. Powycinaj po prostu te piramidki. Spróbuj się zastanowić, a potem przeczytaj to, co napiszę niżej.
Szukaną bryłą jest ośmiościan foremny, z czego wniosek - bryła ma 8 ścian. Taką bryłę tworzy się poprzez złączenie dwóch identycznych ostrosłupów prawidłowych czworokątnych podstawami (kwadratami). W TYM wypadku, każdą ze ścian jest trójkąt równoboczny, którego pole powierzchni jest 4x mniejsze od pola powierzchni jednego dużego trójkąta o podanym boku. Wynika to z rysunku, jak się przyjrzysz. Pole całego ośmiościany jest równe 8 * pole małego trójkąta równobocznego, czyli 8*1/4*pole dużego trójkąta. Pole trójkąta równobocznego to [napiszę słownie]: a kwadrat pierwiastek z trzech przez cztery . Nasze "a" = 10 (wynika z treści zadania). Podstawiamy do wzoru:
Pc {pole powierzchni całkowitej}
Pc = 8 * 1/4 * 10^2 * pierw. z 3 / 4 = 2 * 100 pierw. z 3 przez 4 = 50 pierw. z 3
Pc = 50 pierwiastków z 3 [cm^2]
----------
ZADANIE 3)
| Master napisał/a |
| Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest 4 razy większe od pola podstawy. Krawędź podstawy ma długość 6cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa. |
RYSUNEK:
Wypisujemy najpierw Dane:
Pb = 4Pp
a = 6cm
Wzór na to, czego szukamy, czyli:
V = 1/3 * a^2 * H
Oraz założenia:
a > 0
h > 0
H >0
Teraz rozwiązanie:
Jeżeli Pb = 4Pp
Pb to 4 * 1/2 a * h czyli 2 * a * h
Mamy wzór:
2ah = 4a^2
Wiemy, że a = 6, więc podstawiamy i zaczynamy upraszczać te równanie:
12h = 4*36 /:12
h = 12
Teraz mamy zaznaczony trójkąt prostokątny o przyprostokątnych H i 1/2 a oraz przeciwprostokątnej h. Mając znane już wartości a i h z Twierdzenia Pitagorasa wyliczymy długość przyprostokątnej H, która jest potrzebna do obliczenia szukanej objętości.
(1/2 a)^2 + H^2 = h^2
3^2 + H^2 = 12^2
9 + H^2 = 144 /-9
H^2 = 135 /pierwiastkujemy
H = pierwiastek ze 135 lub H = -pierwiastek ze 135
Drugi wynik odrzucamy, bo H > 0
H = pierwiastek ze 135 = 3 pierwiastki z 15.
Podstawiamy do wzoru na V:
V = 1/3 * a * H
V = 1/3 * 6 * 3 pierwiastki z 15 = 6 pierwiastków z 15.
V = 6 pierwiastków z 15 [cm^3]
Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 6 pierwiastków z 15 [cm^3].
----------
ZADANIE 4:
| Master napisał/a |
| Czy pole powierzchni ostrosłupa może być równe jego polu podstawy? |
A jak myślisz ?
Odpowiedź: NIE MOŻE
Pytanie tylko dlaczego? Odpowiedź jest oczywista: Wtedy nie byłby to ostrosłup, tylko sama w sobie podstawa, czyli FIGURA (płaszczyzna) a nie BRYŁA (przestrzeń). Pole całkowite MUSI być większe od pola podstawy, aby oprócz tej podstawy były jeszcze ściany. Wtedy to dopiero będzie ostrosłupem.
Może trochę chaotycznie, ale nie wiem jak to można dokładniej wyjaśnić
----------
ZADANIE 5)
| Master napisał/a |
| Podstawą ostrosłupa o objętości 60cm sześciennych i wysokości 10cm jest romb. Jedna z przekątnych tego rombu jest dwa razy dłuższa od drugiej przekątnej. Oblicz długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa. |
Mam nadzieję, że chodzi o ostrosłup prawidłowy...
RYSUNEK:
Dane:
V = 60cm^3
H = 10cm
d2 = 2d1
a = ?
Założenia:
a,H,d1,d2,V > 0
Rozwiązujemy:
Wiemy, że V = 1/3 Pp * H
Oraz, że Pp = 1/2 * d1 * d2. Podstawiamy:
V = 1/3 * 1/2 * d1 * d2 * H
Korzystamy z danych i podstawiamy to, co znamy:
60 = 1/6 * 3 * d1^2 * 10
Upraszczamy i rozwiązujemy powyższe równanie:
60 = 3 * 10 * 1/6 * d1^2
60 = 5 * d1^2 /:5
12 = d1^2 /pierwiastkujemy
d1 = pierwiastek z 12 lub d1 = -pierwiastek z 12.
Ujemny wynik odrzucamy, bo d1 > 0
d1 = pierwiastek z 12 = 2 pierwiastki z 3
d1 = 2 pierw. z 3
W podstawie mamy romb, który jest podzielony na 4 przystające trójkąty prostokątne (nie zaznaczyłem kąta prostego, sorki) o przyprostokątnych równych 1/2 d1 i 1/2 d2 oraz przeciwprostokątnej równej a, którego szukamy. Tworzymy wzór korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
(1/2 d1)^2 + (1/2 d2)^2 = a^2 <= za d2 wstawiamy 2*d1
(1/2 d1)^2 + (1/2 * 2 * d1)^2 = a^2
(1/2 d1)^2 + d1^2 = a^2 <= wstawiamy wartość d1, którą obliczyliśmy wcześniej i obliczamy szukane "a".
a^2 = (1/2 * 2 * pierwiastek z 3)^2 + (2 pierwiastki z 3)^2
a^2 = (pierwiastek z 3) ^2 + 12
a^2 = 3 + 12
a^2 = 15 /pierwiastkujemy
a = pierwiastek z 15 lub a = -pierwiastek z 15
Ujemny wynik odrzucamy, bo a > 0
a = pierwiastek z 15 [cm]
Odpowiedź: Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa wynosi pierwiastek z 15 [cm].
----------
Nie powinno być błędu, ale nie daję głowy.
Pozdrawiam, RtMvS
==========================================================
| Gregorius_LO napisał/a |
oblicz długość boków trójkąta równoramiennego (AC=BC) jeżeli długość wysokości CD wynosi h, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość r .
wskazówka niech OE ( E nalezy do AC) bedzie prominiem okregu. wykorzystaj podobieństwo trójkatów ADC I CEO do uzaleznienia AC od AB , h i r. Nastepnie rozwaz krojkat ADC |
Najpierw rysunek wraz z danymi (niektóre wynikają z rysunku):
Nie mamy liczb, naszymi liczbami są tu litery h i r.
Piszemy zależność na podobieńtwo trójkątów:
Δ ADC ~ Δ EOC <=> r/|AD| = (h-r)/|AC| = |CE|/h
Z Δ EOC wyciągamy wniosek, że |EC|^2 + r^2 = (h-r)^2, a z tego wynika, że
...........___________
|EC|=√(h-r)^2 - r^2
Dalej: |AC|=|EC| |AE|, a skoro |AE|=|AD|,to ostatecznie mamy równanie |AC|=|EC|+|AD|
Korzystamy z wcześniejszej cechy podobieństwa trójkątów r/|AD|=(h-r)/|AC| i z tego wyciągamy, że |AD|=r*|AC|/(h-r)
Podstawiamy do równania na |AC| obie wielkości |EC| i |AD|:
.............___________
|AC| = √(h-r)^2 - r^2 + r*|AC|/(h-r)
Mamy więc równanie z jedną niewiadomą (|AC|), które rozwiązujemy:
.............__________________
|AC| = √h^2 - 2hr + r^2 - r^2 + r*|AC|/(h-r)
.............________
|AC| = √h^2 - 2hr + r*|AC|/(h-r)
.............______
|AC| = √h(h-2r) + r*|AC|/(h-r)
..................................______
|AC| - r*|AC|/(h-r) = √h(h-2r)
................................______
|AC|*(1 - r/(h-r)) = √h(h-2r)
............................................______
|AC|*[(h-r)/(h-r) - r/(h-r)] = √h(h-2r)
..................................______
|AC|*[(h-2r)/(h-r)] = √h(h-2r) /( )^2
|AC|^2 * (h-2r)^2/(h-r)^2 = h(h-2r) /:(h-2r)
|AC|^2 * (h-2r)/(h-r)^2 = h /:(h-2r)/(h-r)^2
...........................................__
|AC|^2 = h*(h-r)^2/(h-2r) /√
......................_..._____
|AC| = (h-r)*√h/√(h-2r) <=wyciągamy niewymierność z mianownika i ostatecznie mamy:
.........................._______
|AC| = (h-r)*√h^2-2rh /(h-2r) = |BC|
Mając obliczone |AC| wracamy do wzoru na |AD|:
|AD| = r*|AC|/(h-r)
i podstawiamy:
..........................._______
|AD| = r * (h-r)*√h^2-2rh /(h-2r) * 1/(h-r) [(h-r) nam się redukuje]
................_______
|AD| = r*√h^2-2hr /(h-2r)
|AB|=2*|AD|, czyli:
......................_______
|AB| = 2r*√h^2-2hr /(h-2r)
Pogrubione to ostateczne wyniki - długości boków Î�równoramiennego ABC, zależne od wartości h i r.
==========================================================
| max_92 napisał/a |
oblicz dł. pozostalych bokow trojkata prostokatnego w ktorym sa dane:
1)cos alfa = 8/17
a=16cm
szukane b=? c=? |
na podstawie rysunku.
cos alfa = b/c
{
a^2 + b^2 = c^2
Tworzymy taki układ równań.
8/17 = b/c
{
256 + b^2 = c^2
b = 8c/17
{
256 + b^2 = c^2
Podstawiamy z pierwszego do drugiego i skupiamy się na drugim:
256 + (8c/17)^2 = c^2
256 + 64c^2/289 = c^2 /*289
73984 + 64c^2 = 289c^2 /-64c^2
73984 = 225c^2 /:225
73984/225 = c^2 /pierwiastkujemy
272/15 = c
Wracamy do 1 równania:
b = 8c/17
b = 8 * 272/15 * 1/17 = 8 * 16/15 = 128/15
b = 128/15
c = 272/15
--------------------
| Cytat |
2)sin alfa = 24/25
b=6cm
szukane a i c =??? |
Zrób analogicznie jak w pdpkt-cie a)
), czyli:
